Also worum geht's? Es gut um ein sehr wichtiges Beweisverfahren in der Mathematik: vollständige Induktion. Wer hätte das gedacht.;) Die Fragen was, wie und  warum sollen jetzt geklärt werden. Grundlage für vollständige Induktion ist die Definition der natürlichen Zahlen, also von dem angeordneten Körper . Vollständige Induktion soll ja gerade zeigen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt.

Was sind natürliche Zahlen, wo kommen die her?

Jeder weiß aus der Schule, die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... sind natürliche Zahlen also . Manche nehmen die 0 auch noch mit, aber das ist eigentlich total egal. Jetzt wäre es natürlich ein wenig besser, diese Zahlen formaler zu charakterisieren.

Daher mal eine Definition:

Sei K eine Menge und das Mengensystem aller induktiven Teilmengen von K, dann ist die Menge aller natürlichen Zahlen.

Was, wie, wo? Erklärung der einzelnen Worte:

Mengensystem: Ein Mengensystem einer Menge K ist eine Teilmenge der Potenzmenge von K. D.h. diese Menge besteht wiederum aus Mengen. In diesem Fall besteht aus gewissen Teilmengen von K, nämlich aus den induktiven Teilmengen von K.
Nun, und was ist eine induktive Menge? Ganz einfach. Eine induktive Teilmenge von K ist eine Menge, die die 1 enthält und es zu jedem Element der Menge einen "Nachfolger" gibt:

heißt induktiv, wenn

(i)

(ii) und wenn , dann

Das erinnert doch an was! Genau! Da ist wieder die 1 und das "wenn n, dann n+1". Und das genau ist es auch, worauf es hinaus läuft. Denn kommen wir wieder zurück zur Definition der natürlichen Zahlen. Was ist ? Das große 1. Symbol zeigt, dass es etwas mit dem Durchschnitt zu tun hat. Allerdings geht es nicht um den Durchschnit von Mengen. besteht ja aus Mengen. Der Durchschnitt über dieses Mengensystem wird nun so definiert, dass er alle Elemente enthält, die auch in jeder Menge des Mengensystems enthalten sind.

Beispiel:

Sei , dann .

So, und nun können wir auch verstehen, warum ist. besteht ja aus Mengen, die alle induktiv sind. Damit müssen ale Mengen des Systems die 1 und die 2:=1+1 und 3:=1+1+1, etc. enthalten. Das macht ja gerade induktive Mengen aus. Damit haben auch alle Mengen diese Zahlen gemeinsam und daraus folgt: . Das sind gerade die natürlichen Zahlen, also .

Damit können wir nun das Prinzip der vollständigen Induktion formulieren:

Sei eine Teilmenge von mit den Eigenschaften, dass die 1 in liegt und dass für jedes auch sein Nachfolger in liegt, dann ist . ist damit insbesondere induktiv!

Der Beweis ist ganz einfach. Man schaue sich noch mal die Definition der natürlichen Zahlen an. Jedes gehört doch zu jeder induktiven Teilmenge, also auch zu . Das zeigt . Zudem wurde gefordert, also ist .

Jetzt kommt's!

Jetzt haben wir schon unser Beweisverfahren gefunden! Ab hier tut sich manch einer aber schwer, um das Induktionsprinzip mit einer zu beweisenden Formel in Verbindung zu bringen. Man geht daher so vor. Es soll ja gezeigt werden, dass irgendeine Formel oder Aussageform A(n) für alle natürlichen Zahlen gilt. Daher definiert man sich eine Menge und sagt, in diese Menge kommen nur die natürliche Zahlen, für die die Aussageform gilt. D.h. wir haben eine Menge, die über eine Eigenschaft definiert wird:

Wenn wir nun zeigen, dass A(1) eine wahre Aussage ist, kommt die 1 mit in die Menge. Nehmen wir nun ein beliebiges n in die Menge, d.h. wir tun so, als ob A(n) für dieses n gelte. Können wir nun zeigen, dass A(n+1) wahr ist unter eventueller Ausnutzung, dass n wahr ist, dann wäre auch n+1 in unserer Menge. Wir haben als nun eine Menge, die die 1 enthält und mit jedem n auch n+1 enthält, womit das Induktionsprinzip erfüllt ist und damit . Die Aussage A(n) gilt also für alle natürlichen Zahlen!

Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.

physics

• http://www.weltderphysik.de/
• http://math.ucr.edu/home/baez/physics/index.html
• http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

astronomy/lexica/FAQs

• http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/
• http://lexikon.astronomie.info/
• http://www.faqs.org/faqs/astronomy/faq/part9/preamble.html

astrophysics/cosmology

• http://www.astro.ucla.edu/~wright/sne_cosmology.html
• http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/wegscheider/gebhardt_files/skripten/
• http://www.astro.uni-bonn.de/~peter/
• http://www.astro.uni-bonn.de/~peter/Lectures/intro1.pdf (1 durch n ersetzen ;))
• http://www.astro.uni-bonn.de/~peter/cosmo_IMPRS.pdf
• cosmology calculator
• http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/
• http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/FRWModelle_SS2009.pdf
• http://cgpg.gravity.psu.edu/people/Ashtekar/articles.html
• Distance measures in cosmology by David W. Hogg
• A general and practical method for calculating cosmological
  distances by Kayser

beyond einstein

• Strings und Branen-Welten

video lectures

• http://timms.uni-tuebingen.de/
• http://www.youtube.com/watch?v=32wIKaLkvc4&feature=channel
• http://www.youtube.com/user/MIT
• http://www.youtube.com/user/UCBerkeley
• http://www.youtube.com/user/YaleCourses
• http://www.youtube.com/user/StanfordUniversity
• Feynmans Messengers Lectures
• http://www.vega.org.uk/

what you need to know

• HOW to BECOME a GOOD THEORETICAL PHYSICIST

EF01 (Astronomie I)

Alles Gute zum 92. Mr. Feynman!

Sehr zum Empfehlen sind auch seine Bücher.

Wieso soll sich nun unser Universum durch die ART beschreiben lassen?

Unser Universum ist sehr groß, ca. Lichtjahre groß (zumindest unser sichtbares Universum. Das gesamte Universum ist womöglich tausendmal größer) und ca. 13.7 Milliarden Jahre alt. Das führt dazu, um die Dynamik des Universum und den darin enthaltenen Objekten wie Galaxien (-haufen), dass man elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkungen vernachlässigen kann, da diese nur auf kurze Entfernungen wirksam sind. Die beherrschende Kraft im Universum ist als nur die Gravitation. Daher muss die Dynamik des Systems Universum durch die Einstein'schen Feldgleichungen der Gravitation beschrieben werden.

Wobei der sog. Einstein-Tensor ist. Dieser enthält alle Informationen der Raumzeit. Er besteht nämlich aus dem Ricci-Tensor , der durch Verjüngung des Riemannschen Krümmungstensors gewonnen wird. Da dieser wiederum aus den Christoffelsymbolen gebildet wird, welche die partiellen Ableitungen des metrischen Tensors enthalten, ist der Einstein-Tensor ein Operator, der in vielfältiger Weise mit der Metrik des Raumes verbunden ist.

Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet die Energieverteilungen im Universum, welche als Quelle der Gravitation betrachtet werden. ist die Kopplungskonstante.

Wird das Photon an dem ruhenden Elektron gestreut, so gibt es Energie an das Elektron ab. Das Elektron hat somit nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie. Diese Energie entspricht der vom Elektron aufgenommenen Energie. Was die Energie des Elektrons ist, ist ja durch die Energieerhaltung klar:

Energie des Elektrons = Differenz der Energie des Photons vor und nach dem Stoß

Also:

Nun können wir straightforward rechnen:

Nun kennen wir aber !

Damit folgt:

Wir ziehen die 2 Brüche zu einem zusammen:

Nun ist gerade der Term die Energie der einfallenden Strahlung! Also ist die Energie des Elektrons nach der Streuung:

Mit dieser Formel kan man die Energie des Elektrons für verschiedene Streuwinkel berechnen.

Beispiel: Maximale Energieübertragung auf das Elektron

Die größte Wellenlängenänderung erfährt das Photon (siehe die Compton-Formel) bei . Bei diesem Winkel muss das Photon also am meisten Energie verloren haben. Diese hat das Elektron aufgenommen. Damit gilt für die maximale Elektronenenergie:

ist auch gerade die kinetische Energie des Elektrons. Da man es beim Compton-Effekt mit großen Energien zu tun hat, muss man relativistisch rechnen.

Damit ließe sich dann die Geschwindigkeit des Elektrons nach der Streuung bestimmen.

Das Teilchenmodell führt dazu, dass man die Wechselwirkung zwischen Photon und Elektron als elastischen Stoß betrachten kann. Es gelten also Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz. Das Photon stößt mit dem zunächst ruhenden Elektron zusammen und gibt dann an dieses ein Teil seiner Energie und seines Impulses ab. Das Elektron wird also nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie haben. Wir haben also die Erhaltungssätze:

Energieerhaltung:
Impulserhaltung:

Dabei ist die Energie des Photons vor dem Stoß und dementsprechend die Energie nach dem Stoß. Mit sei die Ruheenergie vor dem Stoß gemeint und entsprechend die Energie nach dem Stoß. meint den Impuls des Photons vor dem Stoß und den Impuls des Elektrons vor dem Stoß, welcher ja Null ist, da wir am Anfang ein ruhendes Elektron betrachten.

Nun gilt für die entsprechenden Energien:

Das alles in die Energieerhaltungsgleichung einsetzen liefert:

Für die Beträge der Impulsvektoren gilt (Parallelogramm, Kosinussatz - Man schaue sich auch noch einmal das Bild hier an.):

Das können wir schon ein wenig umschreiben, da wir wissen, dass gilt: .
Also:

Aus der Relativitätstheorie kennt man eine Formel, die Energie und Impuls miteinander verknüpft. Da wir in dem Experiment zum Compton-Effekt nur die Wellenlängen der Strahlungen messen können (bzw. es ist leichter), wollen wir nur noch eine Gleichung, in der nur noch die Frequenzen und Konstanten vorkommen. Daher eliminieren wir die Elektronenenergie und -impuls.
In die Energie-Impuls-Relation

setzen wir und aus dem Energiesatz bzw. der Gleichung für den Impuls ein. Dann erhalten wir:

Jetzt nur einiges umformen (diene als Übung) und dann kommt man irgendwann (hoffentlich) auf:

Das kann man aber mit noch umschreiben

Wir haben also unser Ziel erreicht aus Energie- und Impulserhaltung die Compton-Formel herzuleiten.