lambdas Kosmos

Kosmologie ist eine sehr außergewöhnliche Disziplin der Physik, da sie sich nur mit einem Objekt beschäftigt und dieses ist nichts weniger als unser Universum, in dem wir leben.

Wieso soll sich nun unser Universum durch die ART beschreiben lassen?

Unser Universum ist sehr groß, ca. Lichtjahre groß (zumindest unser sichtbares Universum. Das gesamte Universum ist womöglich tausendmal größer) und ca. 13.7 Milliarden Jahre alt. Das führt dazu, um die Dynamik des Universum und den darin enthaltenen Objekten wie Galaxien (-haufen), dass man elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkungen vernachlässigen kann, da diese nur auf kurze Entfernungen wirksam sind. Die beherrschende Kraft im Universum ist als nur die Gravitation. Daher muss die Dynamik des Systems Universum durch die Einstein'schen Feldgleichungen der Gravitation beschrieben werden.

Wobei der sog. Einstein-Tensor ist. Dieser enthält alle Informationen der Raumzeit. Er besteht nämlich aus dem Ricci-Tensor , der durch Verjüngung des Riemannschen Krümmungstensors gewonnen wird. Da dieser wiederum aus den Christoffelsymbolen gebildet wird, welche die partiellen Ableitungen des metrischen Tensors enthalten, ist der Einstein-Tensor ein Operator, der in vielfältiger Weise mit der Metrik des Raumes verbunden ist.

Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet die Energieverteilungen im Universum, welche als Quelle der Gravitation betrachtet werden. ist die Kopplungskonstante.

Link: http://lambda.netscience.de/2010/03/25/compton-effekt

Wird das Photon an dem ruhenden Elektron gestreut, so gibt es Energie an das Elektron ab. Das Elektron hat somit nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie. Diese Energie entspricht der vom Elektron aufgenommenen Energie. Was die Energie des Elektrons ist, ist ja durch die Energieerhaltung klar:

Energie des Elektrons = Differenz der Energie des Photons vor und nach dem Stoß

Also:

Nun können wir straightforward rechnen:

Nun kennen wir aber !

Damit folgt:

Wir ziehen die 2 Brüche zu einem zusammen:

Nun ist gerade der Term die Energie der einfallenden Strahlung! Also ist die Energie des Elektrons nach der Streuung:

Mit dieser Formel kan man die Energie des Elektrons für verschiedene Streuwinkel berechnen.

Beispiel: Maximale Energieübertragung auf das Elektron

Die größte Wellenlängenänderung erfährt das Photon (siehe die Compton-Formel) bei . Bei diesem Winkel muss das Photon also am meisten Energie verloren haben. Diese hat das Elektron aufgenommen. Damit gilt für die maximale Elektronenenergie:

ist auch gerade die kinetische Energie des Elektrons. Da man es beim Compton-Effekt mit großen Energien zu tun hat, muss man relativistisch rechnen.

Damit ließe sich dann die Geschwindigkeit des Elektrons nach der Streuung bestimmen.

Link: http://lambda.netscience.de/2010/03/25/compton-effekt

Das Teilchenmodell führt dazu, dass man die Wechselwirkung zwischen Photon und Elektron als elastischen Stoß betrachten kann. Es gelten also Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz. Das Photon stößt mit dem zunächst ruhenden Elektron zusammen und gibt dann an dieses ein Teil seiner Energie und seines Impulses ab. Das Elektron wird also nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie haben. Wir haben also die Erhaltungssätze:

Energieerhaltung:
Impulserhaltung:

Dabei ist die Energie des Photons vor dem Stoß und dementsprechend die Energie nach dem Stoß. Mit sei die Ruheenergie vor dem Stoß gemeint und entsprechend die Energie nach dem Stoß. meint den Impuls des Photons vor dem Stoß und den Impuls des Elektrons vor dem Stoß, welcher ja Null ist, da wir am Anfang ein ruhendes Elektron betrachten.

Nun gilt für die entsprechenden Energien:

Das alles in die Energieerhaltungsgleichung einsetzen liefert:

Für die Beträge der Impulsvektoren gilt (Parallelogramm, Kosinussatz - Man schaue sich auch noch einmal das Bild hier an.):

Das können wir schon ein wenig umschreiben, da wir wissen, dass gilt: .
Also:

Aus der Relativitätstheorie kennt man eine Formel, die Energie und Impuls miteinander verknüpft. Da wir in dem Experiment zum Compton-Effekt nur die Wellenlängen der Strahlungen messen können (bzw. es ist leichter), wollen wir nur noch eine Gleichung, in der nur noch die Frequenzen und Konstanten vorkommen. Daher eliminieren wir die Elektronenenergie und -impuls.
In die Energie-Impuls-Relation

setzen wir und aus dem Energiesatz bzw. der Gleichung für den Impuls ein. Dann erhalten wir:

Jetzt nur einiges umformen (diene als Übung) und dann kommt man irgendwann (hoffentlich) auf:

Das kann man aber mit noch umschreiben

Wir haben also unser Ziel erreicht aus Energie- und Impulserhaltung die Compton-Formel herzuleiten.

Ein Versuch, der die Teilcheneigenschaft von Licht zeigt, wurde 1922 von A.H. Compton durchgeführt. Dabei untersuchte er die Streuung von Röntgenstrahlung an freien Elektronen. Das Wort frei ist hier ganz wichtig, da man in dem Versuch Röntgenstrahlung benutzt, deren Energie wesentlich größer ist als die Bindungsenergie des Elektrons an das Atom ist, sodass man das Elektron als frei bezeichnen kann.


Dabei stellte Compton folgendes fest:


Trifft Licht auf ein freies Elektron, so stellt man unter einem bestimmten Winkel  neben der ursprünglichen Wellenlänge eine Streustrahlung mit einer größeren Wellenlänge fest.

Was heißt das?

Die Streustrahlung hat eine größere Wellenlänge und damit nach eine kleinere Frequenz und damit nach eine kleinere Energie als die einfallende Strahlung. Das Photon und das Elektron müssen also irgendwie miteinander in Wechselwirkung getreten sein. Diese Wechselwirkung lässt sich aber wunderbar als elastischer Stoß beschreiben und hier kommt wieder das Teilchenmodell zum Tragen wie man es aus der Mechanik kennt. Man kann sich das Photon und das Elektron als Billiardkugeln vorstellen, die zusammenstoßen. Wenn man Impuls- und Energieerhaltung anwendet, stellt man fest, dass die sich daraus ergebenden Vorhersagen für die Energien der gestreuten Photonen mit den experimentellen Resulaten im Einklang stehen. Das eingestrahlte Photon trifft auf das zunächst ruhende Elektron und gibt im Gegensatz zum Fotoeffekt einen Teil seiner Energie und seines Impuls an das Elektron ab. Das Photon wird dann unter einem bestimmten Winkel gestreut und hat in Abhängigkeit von dem Winkel eine andere Wellenlänge. Man nennt daher diesen Prozess auch Compton-Streuung. Dabei gilt die aus den Erhaltungssätzen hergeleitete Beziehung:

Dabei ist der Winkel, um den das Photon gestreut wird.
Das stimmt mit den Beobachtungen überein, dass der Wellenlängenunterschied mit dem Streuwinkel zunimmt.


Man kann obige Gleichung auch kompakter schreiben:

fasst den konstanten Term vor der Klammer zusammen. Wie man sieht ist das eine nach de-Broglie definierte Wellenlänge (siehe Einheiten). Man bezeichnet sie als die Compton-Wellenlänge des Elektrons.

Wie man sieht entspricht der Compton-Wellenlänge der Wellenlängenänderung für einen Streuwinkel von . Dort wird der cosinus Null.

Es ergeben sich auch folgende wichtige Zusammenhänge:

Im 1.Fall führt das Photon keinen elastischen Stoß aus. Im 3.Fall wird das Photon komplett zurückgestreut.

Wir stellen also fest:

Der Wellenlängenunterschied hängt nicht von der Wellenlänge der verwendeten Strahlung ab, sondern nur von dem Streuwinkel. Damit hängt auch zusammen, dass die Energieänderung mit dem Winkel zunimmt. Oder anders formuliert: An das Elektron wird umso mehr Energie abgegeben je größer der Streuwinkel ist! Denn eine Wellenlängenänderung führt ja auch zu einer Frequenzänderung und damit auch zur Energieänderung.

Neben dem gestreuten Licht mit einer größeren Wellenlänge, sieht man auch noch Licht der gleichen Wellenlänge wie die Primärstrahlung.

Wie ist das nun zu erklären?

Der eigentliche Compton-Effekt, also die Wellenlängenänderung des gestreuten Photons, entsteht ja an freien Elektronen. Dies bedeutet für den praktischen Versuch, dass das Photon auf das Elektron auf der äußersten Schale des Atoms trifft (das Valenzelektron). Dieses Elektron ist am schwächsten am Atom gebunden, sodass man es als frei bezeichnen kann. Aber das Photon kann natürlich auch noch auf Elektronen, die weiter innen liegen und damit stärker gebunden sind treffen. Die Photonen werden daher verlustfrei reflektiert.


Wie hängt die Beobachtbarkeit von der Wellenlänge ab?


Der Compton-Effekt ist allerdings nur beobachtbar, wenn die verwendete Wellenlänge in der Größenordnung der Compton-Wellenlänge liegt.
Denn wir haben ja gesehen, dass die Wellenlängenänderung nicht von der Wellenlänge abhängt. Der Unterschied hängt nur vom Winkel ab! Also muss ja in
nur klein genug sein, damit entsprechend groß ist (natürlich im Verhältnis zur Ursprungswellenlänge gesehen) . 

Ein Rechenbeispiel:

Wir nehmen sichtbares Licht mit einer Wellenlänge von . Weiter nehmen wir an, das Licht würde um 40° gestreut werden.

Und damit ein das kaum von abweicht! (Also blöd zu beobachten)

Nun nehmen wir eine Wellenlänge

Und damit im Vergleich einen deutlich größeren (beobachtbaren) Unterschied.

Widerspruch zur Wellentheorie

Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts galt der Fotoeffekt als der einzige "Beweis", der zeigte, dass Licht neben Welle auch Teilchen sein kann. 
Nach der klassischen Vorstellung sollte die elektromagnetische Welle das Elektron zum Schwingen anregen. Das Elektron führt also erzwungene Schwingungen in der Erregerfrequenz aus und sollte Licht derselben Frequenz aussenden. Demnach ist eine Wellenlängenänderung, wie sie beobachtet wurde, nicht zu erklären.

Klassische Erwartung

Experimentelles Ergebnis