Kinetische Energie des Elektrons nach der Compton-Streuung

Wird das Photon an dem ruhenden Elektron gestreut, so gibt es Energie an das Elektron ab. Das Elektron hat somit nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie. Diese Energie entspricht der vom Elektron aufgenommenen Energie. Was die Energie des Elektrons ist, ist ja durch die Energieerhaltung klar:

Energie des Elektrons = Differenz der Energie des Photons vor und nach dem Stoß

Also:

$E_e^{'}=E_p-E_p^'$

Nun können wir straightforward rechnen:

$E_e^{'}=E_p-E_p^'$

$=h(f-f^{'})$

$=hc\left(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda^{'}}\right)$

Nun kennen wir aber $\lambda^{'}$ !

$\Delta \lambda=\lambda^{'}-\lambda=\lambda_C(1-\cos \varphi)$

$\Rightarrow \lambda^{'}=\lambda + \lambda_C(1-\cos \varphi)$

Damit folgt:

$E_e^{'}=hc\left(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda + \lambda_C(1-\cos \varphi)}\right)$

Wir ziehen die 2 Brüche zu einem zusammen:

$=hc\left(\dfrac{\lambda_C(1-\cos \varphi)+\lambda-\lambda}{\lambda \left(\lambda_C(1-\cos \varphi)}+\lambda \right)}\right)$

$=hc\left(\dfrac{\lambda_C(1-\cos \varphi)}{\lambda \left(\lambda_C(1-\cos \varphi)}+\lambda \right)}\right)$

$=\dfrac{hc}{\lambda}\left(\dfrac{\lambda_C(1-\cos \varphi)}{\lambda_C(1-\cos \varphi)+\lambda}\right)$

Nun ist gerade der Term $E_p=\frac{hc}{\lambda}=hf$ die Energie der einfallenden Strahlung! Also ist die Energie des Elektrons nach der Streuung:

$E_e^{'}=E_p\left(\dfrac{\lambda_C(1-\cos \varphi)}{\lambda_C(1-\cos \varphi)+\lambda}\right)$

Mit dieser Formel kan man die Energie des Elektrons für verschiedene Streuwinkel berechnen.

Beispiel: Maximale Energieübertragung auf das Elektron

Die größte Wellenlängenänderung erfährt das Photon (siehe die Compton-Formel) bei $\varphi=180^{\circ}$ . Bei diesem Winkel muss das Photon also am meisten Energie verloren haben. Diese hat das Elektron aufgenommen. Damit gilt für die maximale Elektronenenergie:

$E_{e,max}^{'}=E_p\left(\dfrac{\lambda_C(1-\cos 180^{\circ})}{\lambda_C(1-\cos 180^{\circ})+\lambda}\right)$

$E_{e,max}^{'}=E_p\left(\dfrac{2\lambda_C}{2\lambda_C+\lambda}\right)$

$E_e^{'}$ ist auch gerade die kinetische Energie des Elektrons. Da man es beim Compton-Effekt mit großen Energien zu tun hat, muss man relativistisch rechnen.

$E_e^{'}=E_{kin}=m_{0e}c^2(\gamma-1)=m_{0e}c^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-1\right)$

Damit ließe sich dann die Geschwindigkeit des Elektrons nach der Streuung bestimmen.

Dieser Eintrag wurde verfasst am März 28th, 2010 um 16:27:53 von lambda und ist abgelegt unter Physikalisches.

Noch kein Feedback

Kommentar-Feed für diesen Eintrag

lambdas Kosmos

Kinetische Energie des Elektrons nach der Compton-Streuung

Noch kein Feedback

Einen Kommentar hinterlassen