Herleitung der Compton-Formel, Compton Effekt

Das Teilchenmodell führt dazu, dass man die Wechselwirkung zwischen Photon und Elektron als elastischen Stoß betrachten kann. Es gelten also Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz. Das Photon stößt mit dem zunächst ruhenden Elektron zusammen und gibt dann an dieses ein Teil seiner Energie und seines Impulses ab. Das Elektron wird also nach dem Stoß eine von Null verschiedene kinetische Energie haben. Wir haben also die Erhaltungssätze:

Energieerhaltung:
Impulserhaltung:

Dabei ist die Energie des Photons vor dem Stoß und dementsprechend $E'_{Ph}$ die Energie nach dem Stoß. Mit sei die Ruheenergie vor dem Stoß gemeint und entsprechend die Energie nach dem Stoß. meint den Impuls des Photons vor dem Stoß und den Impuls des Elektrons vor dem Stoß, welcher ja Null ist, da wir am Anfang ein ruhendes Elektron betrachten.

Nun gilt für die entsprechenden Energien:

$E_{Ph} &= hf$

$E_{0e} &= m_{0e}c^2$

$E_{Ph}^{'} &= hf^{'}$

$E_{e} &= m_{e}c^2$

Das alles in die Energieerhaltungsgleichung einsetzen liefert:

$hf + m_{0e}c^2=hf^{'}+E_e$

Für die Beträge der Impulsvektoren gilt (Parallelogramm, Kosinussatz - Man schaue sich auch noch einmal das Bild hier an.):

$p_e^2 = p_{Ph}^2+p_{Ph}^{'2} - 2p_{Ph}p_{Ph}^{'}\cos(\varphi)$

Das können wir schon ein wenig umschreiben, da wir wissen, dass gilt: $p_{Ph}=\frac{hf}{c}$ .
Also:

$p_e^2= \dfrac{(hf)^2}{c^2}+\dfrac{(hf^')^2}{c^2} - 2\dfrac{h^2ff'}{c^2}\cos(\varphi)$

Aus der Relativitätstheorie kennt man eine Formel, die Energie und Impuls miteinander verknüpft. Da wir in dem Experiment zum Compton-Effekt nur die Wellenlängen der Strahlungen messen können (bzw. es ist leichter), wollen wir nur noch eine Gleichung, in der nur noch die Frequenzen und Konstanten vorkommen. Daher eliminieren wir die Elektronenenergie und -impuls.
In die Energie-Impuls-Relation

$E_e^2-p_e^2c^2=E_{0e}^2=m_{0e}^2c^4$